FEH ガチャ確率上昇時における ★4, ★3 の確率について

ファイアーエムブレムヒーローズ (以下 FEH) では，召喚ガチャで最高レアリティの ★5 が引けないことが続いた場合，5 回失敗ごとに ★5 の排出率が上昇していきます．

そのさい，確率の和はつねに 100 % ですから，★4, ★3 の排出率は反対に低下していくわけですが，この遷移の詳細については驚くほどなにもわかっていません．

FEH という検索ワードとあわせて，最初のいくつかの数字で検索をかけてみても，その法則どころか単純に数値を表にしたようなページすら見つからないので，外国語も含めて Google でヒットする範囲にはないものと思われます．

通常ガチャにおける確率変化

まず，私が確認してスクリーンショットを記録している範囲でそれをまとめてみると，以下のとおりです：

失敗数	★5	★4	★3
0	3.00 %	58.00 %	36.00 %
5	3.25 %	57.69 %	35.81 %
10	3.50 %	57.38 %	35.62 %
15	3.75 %	57.07 %	35.43 %
20	4.00 %	56.77 %	35.23 %
25	4.25 %	56.46 %	35.04 %
30	4.50 %	56.15 %	34.85 %

もちろんこれ以上に爆死している画像も FEH 関連のまとめサイトなどをあされば山ほど見つかるでしょうが，当面はこの範囲だけを証拠としましょう．

これを見れば，どうやら ★4 の確率はおおむね 0.31 ポイントずつ，ただし 15 から 20 のときのみ 0.30 ポイントだけ減少していることがわかります．★3 のほうは 0.19 ポイントずつ，そして同じ箇所で 0.20 ポイントだけ減少します．

といっても，これらの減少は ★5 ピックアップと通常 ★5 が合計して 0.50 ポイント増加することの裏返しなのですから，和が 0.50 であるのはあたりまえです．したがって，計算は ★4 のほうだけを考えればよいことになります (ただし 1 点だけ注意があります．後述)．

いま，この減少は等差数列であると考えましょう (これが本稿で唯一証拠のない仮定です)．つまり「0.31 ずつ減少する，ただし 4 回に 1 回だけ 0.30 になる」というようなアドホックな規則ではなく，毎回 0.30 と 0.31 のあいだの一定の値，たとえば 0.308 ずつ減少していて，四捨五入のために上のような表示になっているものとみなします．そしてこの値 (公差) を求めることを目的とします．

なお，召喚画面から見られる「召喚についての注意事項」を確認すると，確率表示は小数点以下第 3 位で四捨五入されていることが明記されています．かりに 0.31 と 0.30 のように第 3 位以下がないのだとすると，このような注意は必要ありません．

だからといって等差だと決まったわけでもありません．たとえば「4 回に 3 回は 0.309, 1 回は 0.301」のような法則であってもかまわないのですから．もちろんこんな不自然な規則は考えがたく，等差とみなすほうがもっともらしいのでそう仮定するわけです．

求める公差を d とします．減少列ですから，これは厳密に言えばマイナス 0.30 いくつという値ですが，符号と言葉づかいが面倒になるため，あらかじめ絶対値を d とおくことに約束しましょう．このように文字を使うと難しそうに見えるかもしれませんが，やっていることはただの 1 次の連立不等式なので中学生くらいの範囲でしょう．

d の値について，私たちは上の表からすでに多くの手がかりを得ています．それは具体的には 6 本の不等式です．まず，5 回失敗したとき ★4 の確率は 57.69 % になるわけですが，これは四捨五入して 57.69 と書かれているのですから，58.00 から特定の値 d だけ減ったものがそうなるということは，

57.685 ≤ 58 − d < 57.695

ということで，移項して整理すれば 0.305 < d ≤ 0.315 です (等号の位置に注意してください)．さらに次の行では 57.38 となっていますから，

57.375 ≤ 58 − 2d < 57.385

であり，これも整理すると 0.3075 < d ≤ 0.3125 となります．これだけ見ると 1 本めの式は無駄で，後半の式だけあればよいかのようですが，以下，

57.065 ≤ 58 − 3d < 57.075,

56.765 ≤ 58 − 4d < 56.775,

56.455 ≤ 58 − 5d < 56.465,

56.145 ≤ 58 − 6d < 56.155

を整理した

0.30833... < d ≤ 0.31166...,

0.30625 < d ≤ 0.30875,

0.307 < d ≤ 0.309,

0.3075 < d ≤ 0.309166...

を見ればそうではなく，下限 (不等式の左側) については 3 番めの式，上限 (右側) については 4 番めの式がいちばん厳しいことがわかります．5 本め，6 本めの式はあいにくなんの役にも立っていません．次に有用な式が来るのは，差分がふたたび 0.31 でなく 0.30 になる箇所の前後においてでしょう．

ちなみに細かいことですが，いま言った「下限」「上限」というのは数学用語としては間違った使いかたです．この場合本当は「下 (か) 界 (かい) 」「上 (じょう) 界 (かい) 」と呼ぶべきもので，下限・上限はそれぞれ最大下界・最小上界を意味することに決まっています．

求める公差 d はこれら 6 本の式すべてをみたさねばならないのですから，以上の連立不等式からその範囲は 0.30833... < d ≤ 0.30875 と評価されることになるはずです．しかし実際には ★3 のほうも考慮するとぴったり d = 0.30875 のときはアウトで，0.30833... < d < 0.30875 が最終的な答えとなります．

というのも，この右側についていた等号ですが，じつはちょうど d = 0.30875 のときには (それは 4 番めの式 0.30625 < d ≤ 0.30875 のもとの式 56.765 ≤ 58 − 4d < 56.775 の左側が等号で成りたつ場合ですから) ★4 = 56.765 %, ★3 = 35.235 % であって，この後者は四捨五入すると 35.24 % ですから最初の表にある 35.23 % という表示と矛盾します．このようにきっかり 0.005 ずつの端数が出る場面にかぎって ★3 のほうの不等式が意味をもちます．

推測によれば d はなんらかの一定の値，たとえば 0.3085 だったり 0.3087 だったりのどれかの値にびしっと決まるはずですが，私が得ているこの 6 本の式だけではこれ以上絞りこめないということです．

連立される不等式が増えれば増えるほど条件は厳しく狭められるわけですから，4.75 % 以上の爆死画像があればもう少しはっきりしたことがわかりますが，最大で 23 本の，しかも等号なしの不等式ですから，かりに望みうるすべてのデータが揃ってもユーザが正解の 1 つの値を算出することは不可能でしょう．

伝承ガチャにおける確率変化

もののついでなので，現在行われている伝承ガチャについてもわかる範囲で数字をまとめておきます：

失敗数	★5	★4	★3
0	8.00 %	58.00 %	34.00 %
5	8.50 %	57.68 %	33.82 %
10	9.00 %	57.37 %	33.63 %
15	9.50 %	57.05 %	33.45 %
20	10.00 %	56.74 %	33.26 %
25	10.50 %	56.42 %	33.08 %
30	11.00 %	56.11 %	32.89 %
35	11.50 %	55.79 %	32.71 %
40	12.00 %	55.48 %	32.52 %

この範囲で ★4 の減少分を観察してみると，0.32 と 0.31 をちょうど交互に繰りかえしていることが見てとれます．この公差についても上と同じ計算をしてみると (面倒なので過程は省きます)，結果は 0.315 < d < 0.315625 となります．

不等式評価ゆえ確たる 1 つの値こそ出ていないものの，通常ガチャについて求めたものと比べれば明らかに範囲が重なっておらず，こちらのほうが ★4 の減少分がはっきりと大きい (つまり ★3 の減少分が小さい) ことがわかります．といってもこちらは通常ガチャと比べてスタート時の ★3 率がかなり低いので，ケチっているというわけではないでしょう．

アイスランド語の文法用語の略語

最近，アイスランド語版『星の王子さま』を本国から購入するついでに，何冊か興味のある本を同時注文したのだが (なにしろ送料がかなり高いので，何度も分けて注文することは避けたい)，そのうちの 1 冊にアイスランド語のコンパクトな文法書，Björn Guðfinnsson 著 Eiríkur Hreinn Finnbogason 改訂の Íslensk málfræði という本がある．アイスランドの本なので当然説明もアイスランド語で書かれている．私のアイスランド語学習はまだまだ緒についたばかりなので，ところどころしか読めないが気晴らしによく開いて眺めている．

今回はその本の冒頭にある，文法用語の略号表を翻訳して掲載してみたい．あくまでこの本における略記法であるとはいえ，こういうものにさほどのばらつきはないであろう (といっても唯一のものでないことは言うまでもない．たとえば直説法 fh. は fsh. と書かれることもあるなど)．掲載するのは自分用の便利なメモという目的が大きいが，なにかしら人の役にも立つかもしれない (日本人のアイスランド語学習者でこれを必要とするものはまれだろうが，文法用語の逆引きにも使える．あるいは逆にアイスランド人が日本語訳を知るきっかけになるかもしれない)．

Nokkrar skammstafanir málfræðiheita.

afn.	afturbeygt fornafn	再帰代名詞
ao.	atviksorð	副詞
áfn.	ábendingarfornafn	指示代名詞
án gr.	án greinis	冠詞なし〔＝不定形，未知形〕
bb.	blönduð beyging	混合変化 ‡
bh.	boðháttur	命令法
ef.	eignarfall	属格
efn.	eignarfornafn	所有代名詞
est.	efsta stig	最上級
et.	eintala	単数
fh.	framsöguháttur	直説法
fn.	fornafn	代名詞
fo.	fallorð	名詞類 *
frt.	framtíð	未来時制
fs.	forsetning	前置詞
ft.	fleirtala	複数
gm.	germynd	能動態
gr.	greinir	冠詞
hls.	hliðstætt	属詞的に †
hk.	hvorugkyn	中性
hhls.	hálfhliðstætt	半属詞的に †
kk.	karlkyn	男性
kvk.	kvenkyn	女性
lh.	lýsingarháttur	分詞 **
lh. nt.	lýsingarháttur nútíðar	現在分詞 **
lh. þt.	lýsingarháttur þátíðar	過去分詞 **
lo.	lýsingarorð	形容詞
m. gr.	með greini	冠詞つき〔＝定形，既知形〕
mm.	miðmynd	中動態
mst.	miðstig	比較級 ¶
nf.	nefnifall	主格
nh.	nafnháttur	不定法
nhm.	nafnháttarmerki	不定法標識
nlt.	núliðin tíð	現在完了時制
no.	nafnorð	名詞
nt.	nútíð	現在時制
óáfn.	óákveðið ábendingarfornafn	不定指示代名詞
ófn.	óákveðið fornafn	不定代名詞
p.	persóna	人称
1. p.	fyrsta persóna	1 人称
2. p.	önnur persóna	2 人称
3. p.	þriðja persóna	3 人称
pfn.	persónufornafn	人称代名詞
sb.	sterk beyging	強変化 ‡
sfn.	spurnarfornafn	疑問代名詞
skt.	skildagatíð	条件時制 §
so.	sagnorð	動詞
smo.	smáorð	不変化詞 ¶¶
st.	samtenging	接続詞
tfn.	tilvísunarfornafn	関係代名詞
to.	töluorð	数詞
uh.	upphrópun	間投詞
vb.	veik beyging	弱変化 ‡
vh.	viðtengingarháttur	接続法
þf.	þolfall	対格
þft.	þáframtíð	過去未来時制
þgf.	þágufall	与格
þm.	þolmynd	受動態
þlt.	þáliðin tíð	過去完了時制
þst.	þáskildagatíð	過去条件時制 §
þt.	þátíð	過去時制

表にはない基本的な文法用語として，beyging「屈折」，fall「格」，kyn「性」，tala「数」，háttur「法」，mynd「態」，tíð「時制」を挙げておく．これに沿って，厳密には法や時制とは呼べないと考えられるものについても，基本的に原語を尊重して訳した．この原則をはずれる場合や，補足が必要と思われる場合についてはそれぞれ以下の注で述べる．

* Fallorð の直訳は「格-語」だが，これは英語の nominal すなわち「名詞類」のことである．なお名詞類とは格変化する語のことで，アイスランド語においては冠詞・名詞・代名詞・形容詞・数詞の総称．(→ is.Wikipedia: Fallorð)

** Lýsingarháttur は直訳すれば「形容法」とでもなろう．アイスランド語文法では動詞の法 (háttur) のひとつと数えられているようだ．しかしかえってわかりづらいので一般的な用語で訳した．現在分詞・過去分詞についても同様．(→ is.Wikipedia: Lýsingarháttur)

† 形容詞や指示代名詞の用法のことで，hliðstætt の対義語は sérstætt (実詞 [名詞] 的に)．この「実詞的」「属詞的」というのは意訳であり，忠実に訳すならそれぞれ「自律的」「他律的」が近いだろうか．

Hálfhliðstætt のほうはこの著者の特殊な用語なのか，検索してもほとんど用例が見あたらない．本文 §§ 96ff. の説明を見るかぎり，修飾する対象 (意味上の主体，一致のコントローラ？) と一致しない形容詞の用法を言っているようである．たとえば Drengnum er kalt. Drengjunum er kalt.「少年 (たち) は寒い」という文では，男性与格定形単数／複数におかれた drengur に対して kaldur の中性単数が使われている．また Stúlkunni er órótt. Stúlkunum er órótt.「少女 (たち) は落ちつかない [不安である]」においても，女性与格定形単数／複数の「主語」にかかわらず órór は中性単数になっている．

‡ Beyging は名詞 (類) の「曲用」と動詞の「活用」の両方に用いられる術語すなわち「屈折」だが，「強屈折，弱屈折」ではいくぶんすわりが悪いので，より平易で通りのよい「変化」とした．

¶ 直訳では「中間級」だが，一般的な用語に改めた．

¶¶ Smáorð は直訳すれば ‘small word’ なので「小辞，小詞」と言いたくなるところである．また ‘function word’ (機能語) とする英訳もある．しかしアイスランド語文法における smáorð の定義は「格変化も時制変化もしない品詞」(本書 §12c) であって，その内訳は「前置詞，副詞，接続詞，間投詞および不定法標識」である (§13．また → is.Wikipedia: Smáorð)．「小辞，小詞」ではもっぱら単音節の倚辞のような誤解を与えかねないし，とりわけ副詞が含まれていることもあって「機能語」にも大きな語弊があるので，ここでは「不変化詞」(uninflected word) とした．屈折しない品詞という前述の定義からも適当と考えられるが，これも完璧に誤解の余地がないとは言えない (というのも，たとえば外来語由来のために名詞や形容詞なのに曲用しないというケースが想定可能であり，これも uninflected word と呼ばれる場合があるから)．

§ 条件「時制」とは見なれない名称であり，条件「法」と言いたくなるところだが，tíð なのですなおに訳した．アイスランド語ではこれらを含めて 8 つの時制をもつとされている．(→ is.Wikipedia: Tíðbeyging sagna「動詞の時制変化」)


補遺として，本文中に見られる (文法用語以外の) 一般の語句の略記を目につくかぎりまとめておく：

athgr.	athugasemdir (?)	注意 *
m. a.	meðal annars	とりわけ (u. a.)
o. fl.	og fleira/fleiri	など
o. s. frv.	og svo framvegis	など (etc., usw.)
sbr.	samanber	比較せよ (cf., vgl.)
t. d.	til dæmis	たとえば (e. g., z. B.)
þ. e.	það er	すなわち (i. e., d. h.)
æf.	æfing (?)	練習問題

* 文脈から ‘note’ や ‘remark’ のような意味に見え，そこから athugasemdir と推測したが，定かでない．

北欧語の単語集の必要

デンマーク語やアイスランド語のような北欧語を勉強していると，当然のことではありますが，しばしば英語やドイツ語とよく似た単語に出会います．記憶に定着しやすくするためにも，たとえばアイスランド語の学習書には英語・ドイツ語・デンマーク語の訳語が書いてあると助かるのですが，需要がないためかなかなかそういうふうにはなっていません．

これはしかし一考の余地がある点だと思われます．そもそもアイスランド語 (フェーロー語・デンマーク語・スウェーデン語・ノルウェー語) の学習者じたいが日本では僅少ですから，中学・高校で英語をやったきりの人がいきなりアイスランド語を始めるというパターンと，ゲルマン語を専門に勉強している人か私のような趣味人でドイツ語の知識があるというパターン，かならずしも後者のほうが割合として少数派だとは言いきれないでしょう．

日本語で読める既存の出版物でいまいちばん近いのは河崎・大宮・西出『ゲルマン語基礎語彙集』(大学書林，2015 年) ですが，学習用の単語集として使うにはまったくボリュームが不足していますし不便です．そこでそうした需要を満たすための単語集を自分のためにそのうち作りたいと思っているのですが，なかなか準備が進まないので，走り書き程度に思いつきをここに記しておきます．

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配列は見出し語をすべてアルファベット順に並べるというのがいちばんシンプルですが，そうしないという選択肢もあります．それはたとえば野里・白崎『英語から覚えるイタリア語単語』(創拓社，1996 年) がとっている戦略で，まずイタリア語の品詞ごとに分け，それからそのなかで英語と対応しているかどうかで分類，最後に ABC 順という配列になっています．この利点はもちろん，英語から簡単に類推できるものは分離してしまい，覚えにくい単語を重点的に見られるようになることです．

いまこれを模倣して，英語とドイツ語の知識がある人向けの北欧語の単語集を作るとすれば，だいたい次のような 5 分類になるでしょう．

(1) 英語もドイツ語も北欧語もぜんぶ対応している単語．これは大雑把に言って，ゲルマン祖語に遡る単語のリストとおおかた重なるかと思います (ほかにも「茶」のような，どの言語にとっても借用語である単語も考えられますが，アイスランド語はきわめて外来語に不寛容なのでさほど多くないはずです)．

このグループの単語はたくさんあるでしょうが，対応しているからといってもただちに語形が思い浮かぶようになるためには，ある程度歴史言語学の知識が必要になりそうです．例としては氷 segja : 丁 sige : 独 sagen : 英 say や， 氷 vatn : 丁 vand : 独 Wasser : 英 water，氷 ungur : 丁 ung : 独 jung : 英 young などなど．一般には cognate だからといって現代における意味および使用頻度も同一とは限らないことが常ですから，もっとも危険なケースといえるかもしれません (次節に後述する英 eat および英 think にあたる語についてを参照)．

(2) 英語とドイツ語は対応するが，それらと北欧語が似ていない単語．要するに北欧語 (北ゲルマン語群) 独自の語彙です．その例としてはたとえば氷 vinur : 丁 ven / 独 Freund : 英 friend や，氷 gamall : 丁 gammel / 独 alt : 英 old (なお比較級・最上級では氷 eldri, elstur, 丁 ældre, ældst として英独と同源)，氷 aldrei : 丁 aldrig / 独 nie : 英 never (ただし nie と never の対応はちょっとずるいですが) などなどいくらでもあるでしょう．

(3) 英語と北欧語が同源で，ドイツ語だけが似ていない単語．これはいちばんおもしろいパターンです．英語は非常に数奇な歴史をたどった言語で，ノルマン・コンクエストによって中英語以降フランス語の影響が顕著になったことは現代の両言語を見てもただちに知られますが，それ以前にブリテン島はヴァイキングの侵攻とデーン人による支配を受けていましたから，北欧語 (古ノルド語) の語彙が入っている場合があります．

その例のひとつが動詞 take で，ご存知のとおりドイツ語に訳すとまずは nehmen ですが，デンマーク語では tage, アイスランド語では taka です．ほかには氷 rót : 丁 rod : 英 root / 独 Wurzel や，氷 deyja : 丁 dø : 英 die / 独 sterben などの例があります．

(4) その逆に，ドイツ語と北欧語が同源で，英語だけが似ていない単語．中英語までで廃れてしまった単語の事例を思えば，こちらのパターンのほうが (3) よりも多そうです．たとえば氷 hlaupa : 丁 løbe : 独 laufen / 英 run (英語の cognate は leap) や氷 svartur : 丁 sort : 独 schwarz / 英 black，また氷 himinn : 丁 himmel : 独 Himmel / 英 sky が挙げられます．

ところでこの最後の例でおもしろいのは，英語の sky という単語じしんは (3) のように古ノルド語に遡るということです．アイスランド語で ský, デンマーク語で sky は「雲」を意味します．これが英語に入ったあと「空」に転じたものです．ドイツ語で「雲」は Wolke ですから，この線でいけばこの単語は (3) のパターンと言えないこともありません．実際上は北欧語を見出しの基準にすれば曖昧さは生じませんが，このような豆知識は記憶にとってとても有益ですから，そういう遊びを包摂できるような単語集が望ましいでしょう．

(5) 英語もドイツ語も北欧語もてんでばらばらな単語．北欧語を覚えるにあたって英語もドイツ語も頼りにならないということですから，(2) とともにいちばん大変な場合です．おそらく数も少ないとは言えないでしょう (というか構成上 (2) と分ける必要もないかも；ドイツ語を読者にとっての学習 (復習) 対象に見据えるかどうかの違いか)．

たとえば氷 skógur : 丁 skov / 独 Wald / 英 forest や，氷 stór : 丁 stor / 独 groß / 英 large (もっとも独 groß は英 great と同源なので，そのかぎりではこれは (2) のパターンですが) がそうです．つづりから想像されるとおり，forest も large も古フランス語から中英語に入った単語です．もちろんそういうものばかりでなく，氷 barn : 丁 barn / 独 Kind / 英 child や氷 spyrja : 丁 spørge / 独 fragen / 英 ask のように，どれもゲルマン語本来の単語なのに現代に残ったものが異なるというパターンもあります．

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さてここまで「北欧語」をひとまとめに扱ってきましたが，それは英語・ドイツ語に比べれば北欧語間の互いのばらつきは比較的小さいためです．しかしいまかりにアイスランド語の単語集を作ることにし，そこで英語・ドイツ語のみならずデンマーク語の知識も助けにすることとすれば，アイスランド語とデンマーク語でふつう使われる単語の訳語が同源でない場合が問題になりましょう．

これに関して思いつくのは「食べる」を意味する動詞で，デンマーク語ではふつう spise という動詞を使います．しかし「食べる」が spise だなんていかにもゲルマン語らしくない感じがします．それもそのはず，この単語はラテン語 expensa に源を発し，中低ドイツ語を通してデンマーク語に入ったということです (独 Speise も同源)．一方アイスランド語では borða が一般的です．これに対して丁 æde : 氷 éta という，英 eat : 独 essen と同源の動詞もありますが，これらはいずれも動物が餌を食べることを言い，人に使うと軽蔑的な意味になるようです．

また「考える，思う」を意味するいちばんふつうの語は英 think : 独 denken : 丁 tænke ですが，アイスランド語では hugsa です．アイスランド語における前者の cognate は þekkja という動詞で，これは「知っている」を意味します．なおデンマーク語の tænke およびスウェーデン語・ノルウェー語でそれに対応する語は，もともと中低ドイツ語の denken から入ったということです．

こういったことは少なからずほかにも例があろうかと思われます．そして最終的にはそのようなアイスランド語単語集を作りたいのですが，具体的なことはもう少し両者の勉強を進めてから考えることにしましょう．また，資料としてたとえばアイスランド語―デンマーク語辞典のようなものが必要になりますから，その点でもまだ私のほうで準備が不足しています．